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Teoremas para el final de Análisis II
¡Hola! Este es un compilado de los 19 teoremas en general tomados en los finales de Análisis II (c), basado en las dos listas de teoremas que circulan por ahí. Intento que sea lo más comprensible y completo posible, pero no puedo hacerme responsable si algún teorema no presente acá es tomado en un final. No debiera pasar, pero quién sabe. Desde ya, espero que a quien esté leyendo esto le sirva de algo. Si llegase a encontrar un error, favor de contactarse conmigo por alguno de los medios explicitados en el home de este sitio. La mayoría de las demostraciones aquí presentes fueron tomadas del Cálculo de Larotonda o de apuntes tomados en clase.

Sugerencia: Todas las demostraciones del sitio fueron escritas con Gallemathic. A mí me ayudó un montón a la hora de estudiar estos teoremas y escribirlos y escribirlos y escribirlos hasta saberlos de memoria, así que si les da fiaca andar escribiendo a mano o por un medio más tradicional, denle una oportunidad (shameless plug).
Índice
Teorema 1
🔸 Dificultad: 🔴🔴⚫️⚫️⚫️
🔸 Sea f: A ⊆ ℝⁿ → ℝᵐ, P ∈ A⁰, L ∈ ℝᵐ. Entonces vale que: (f es continua en P) ⇔ (∀ sucesión Tn (n ∈ ℕ) de puntos de A ⁄ Tn → P, f(Tn) → f(P)).
Teorema 2
🔸 Dificultad: 🔴🔴⚫️⚫️⚫️
🔸 Teorema de Bolzano: sea f: A ⊆ ℝ → ℝ una función continua. Si existen puntos P ∈ A y Q ∈ A tales que f(P)f(Q) < 0, entonces existe un punto c ∈ A ⁄ f(c) = 0.
Teorema 3
🔸 Dificultad: 🔴⚫️⚫️⚫️⚫️
🔸 Teorema de Bolzano en ℝⁿ: sea f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ, con A arcoconexo y f continua en A. Si existen P y Q ∈ A ⁄ f(P)f(Q) < 0, entonces existe R ∈ A ⁄ f(R) = 0.
Teorema 4
🔸 Dificultad: 🔴🔴🔴⚫️⚫️
🔸 Teorema de Weierstrass: sea f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ, con A compacto, f continua en A. Entonces existen m y M ∈ ℝ tales que m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ A. Además existen Pm y PM ∈ A tales que f alcanza su mínimo y máximo respectivos en A en dichos puntos.
Teorema 5
🔸 Dificultad: 🔴⚫️⚫️⚫️⚫️
🔸 Diferenciable ⇒ Continua: sea f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ, P ∈ A⁰, y f diferenciable en P. Entonces f es continua en P.
Teorema 6
🔸 Dificultad: 🔴🔴🔴⚫️⚫️
🔸 Sobre la existencia de las derivadas direccionales y la unicidad del diferencial: sea f:A ⊆ ℝⁿ → ℝ. Sea p ∈ A⁰. Si existe una transformación lineal Tp tal que lim x → p ‖f(x) − f(p) − Tp(x − p)‖ ⁄ ‖x − p‖ = 0, entonces existen todas las derivadas direccionales de f en p, y su fórmula es Tp(v), con v un versor de Rⁿ; Tp(X) = Dfp(X) = <∇f(p), X> para todo X ∈ ℝⁿ y f es diferenciable en P; y la transformación lineal Tp es única.
Teorema 7
🔸 Dificultad: 🔴⚫️⚫️⚫️⚫️
🔸 ∇f(p) es la dirección de máximo crecimiento de f en p: sea f una función diferenciable en p. Entonces la dirección de máximo crecimiento de f en p viene dada por ∇f(p).
Teorema 8
🔸 Dificultad: 🔴🔴🔴⚫️⚫️
🔸 Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy en ℝ.
Teorema 9
🔸 Dificultad: 🔴🔴⚫️⚫️⚫️
🔸 C¹ ⇒ Diferenciable: En formato imagen.
Teorema 10
🔸 Dificultad: 🔴🔴🔴🔴⚫️
🔸 Teorema del Hessiano: Sea f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ, f una función de clase C³ en A, con A abierto, P ∈ A un punto de A tal que ∇f(P) = 0. Entonces si el Hessiano de f en P (Hf(P)) es definido negativo, P es un máximo estricto de f. Si Hf(P) es definido positivo, P es un mínimo estricto de f. Si Hf(P) es indefinido, entonces P es un punto silla de f.
Teorema 11
🔸 Dificultad: 🔴🔴🔴🔴🔴
🔸 Teorema de los multiplicadores de Lagrange: En formato imagen.
Teorema 12
🔸 Dificultad: 🔴🔴🔴⚫️⚫️
🔸 Continua ⇒ Integrable: En formato imagen.
Teorema 13
🔸 Dificultad: 🔴🔴🔴🔴⚫️
🔸 Teorema fundamental del cálculo integral: Sea f:[a,b]→ℝ una función continua. Dado x∈[a,b] sea F:[a,b]→ℝ tal que F(x)=∫[a,x]f=∫[a,x]f(t)dt. Entonces F es continua en [a,b], derivable en (a,b) y ∀x∈[a,b] vale que F'(x)=f(x).
Teorema 14
🔸 Dificultad: 🔴⚫️⚫️⚫️⚫️
🔸 Regla de Barrow: sea f una función continua en un cerrado [a, b]. Si F es una primitiva de f, se tiene que ∫[a, b]f = F(b) − F(a).
Teorema 15
🔸 Dificultad: 🔴⚫️⚫️⚫️⚫️
🔸 Teorema del valor medio integral: sea f: [a, b] → ℝ una función continua. Entonces ∃ c ∈ (a, b) ⁄ ∫[a, b]f = f(c)(b − a).
Teorema 16
🔸 Dificultad: 🔴🔴⚫️⚫️⚫️
🔸 Dado P en una curva de nivel de F(x, y) de clase C¹ tal que ∇F(P)≠0, entonces ∇F(P) es perpendicular a la recta tangente a la curva en P. En formato imagen.
Teorema 17
🔸 Dificultad: 🔴🔴🔴🔴🔴
🔸 Las derivadas cruzadas coinciden.
Teorema 18
🔸 Dificultad: 🔴🔴⚫️⚫️⚫️
🔸 Teorema de Lagrange en ℝⁿ o Teorema del valor medio para funciones diferenciables: En formato imagen.
Teorema 19
🔸 Dificultad: 🔴🔴⚫️⚫️⚫️
🔸 Teorema de Fermat en ℝⁿ: En formato imagen.
Teorema 1
Sean:
Entonces vale que:
Demostración:
(12)
(21)
Como 1221, entonces 12, que es lo que queríamos probar. □
Teorema 2: Teorema de Bolzano
Sean:
Entonces:
Demostración:
(Aprovecho para agredecer a Tony Luciana y a Fernando Martin por señalar y corregir errores presentes en esta demostración).
Teorema 3: Teorema de Bolzano en Rⁿ
Sean:
Entonces:
Demostración:
Teorema 4: Teorema de Weierstrass
Sean:
Entonces:
Demostración:
(Existencia de m y M)

(Pm y PM)

Dicho todo esto queda demostrado el teorema. □
Teorema 5: Diferenciable ⇒ Continua
Sean:
Entonces:
Demostración:
Teorema 6: derivadas direccionales y unicidad del diferencial
Sean:
Entonces:
Demostración:
Teorema 7: ∇f(p) es la dirección de máximo crecimiento de f en p
Sean:
Entonces:
Demostración:
Teorema 8: Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy

Teorema de Fermat


Sea:
Entonces:
Demostración:

Teorema de Rolle


Sea:
Entonces:
Demostración:

Teorema de Lagrange


Sea:
Entonces:
Demostración:

Teorema de Cauchy


Sea:
Entonces:
Demostración:
Teorema 9: C¹ ⇒ Diferenciable

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(Cortesía de Ezequiel Togno)
Teorema 10: Teorema del Hessiano
Primero, un poco de introducción:
Con esto visto, vamos al teorema.
Sean:
Entonces:
Unas cosas más antes de seguir:
Demostración:
(Casos de Hessiano definido)
(Caso de Hessiano indefinido) Dicho todo esto, se demuestra el teorema. □
Teorema 11: Teorema de los multiplicadores de Lagrange
A decir verdad, no entendí nunca la demostración de este teorema. Tanto es así, que me pareció que sería inapropiado resumirla y explicarla acá sin estar seguro de mis palabras. Por esto mismo, anexo una imagen de la demostración del libro de Larotonda y me limito a continuar.


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Teorema 12: Continua ⇒ Integrable
(Nota: en el primer renglón, donde dice entonces es derivable en [a, b], debería decir entonces es integrable en [a, b].)


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Teorema 13: Teorema fundamental del cálculo integral
Nota: de acá en adelante, debido a las limitaciones de Gallemathic y html, voy a notar las integrales definidas de a hasta b de f(t)dt como ∫[a,b]f(t)dt.

Sean:
Entonces:
Demostración:
Sea s el máximo valor que toma |f(t)| con t∈[a,b], que como f es una función continua es un número finito. Vamos a probar que F es una función continua.
Como lim x→xo (F(x)−F(xo))/(x−xo)=f(xo), se prueba que F es continua en el interior, derivable en todo el interior (y por tanto, efectivamente derivable) y F'=f, que es lo que queríamos probar. □
Teorema 14: Regla de Barrow
Sea:
Entonces:
Demostración:
Teorema 15: Teorema del valor medio integral
Sea:
Entonces:
Demostración:
Teorema 16: Gradiente perpendicular a la tangente
Enunciado: dado P en una curva de nivel de F(x, y) de clase C¹ tal que ∇F(P)≠0, entonces ∇F(P) es perpendicular a la recta tangente a la curva en P.


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(Cortesía de Ezequiel Togno)
Teorema 17: Las derivadas cruzadas coinciden
Dado que este teorema no se toma nunca y su demostración es brutalmente complicada, no voy a subirlo. Si se quiere ver por cuenta propia, está en la página 109 del Cálculo de Larotonda.
Teorema 18: Teorema de Lagrange en ℝⁿ

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Teorema 19: Teorema de Fermat en ℝⁿ

(Abrir en una pestaña nueva)

Martín del Río, 2017 - 2018.
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