Teoremas del final de Análisis II (Computación)

Este es un compilado de los 19 teoremas en general tomados en los finales de Análisis II (c), basado en las dos listas de teoremas que circulan por internet. Intento que sea lo más comprensible y completo posible, pero no puedo hacerme responsable si algún teorema no presente acá es tomado en un final o si alguna demostración tiene algún detalle que se me haya pasado por alto. No debería pasar ni he recibido quejas, pero eso no es ninguna garantía.

Desde ya, espero que a quien esté leyendo esto le sirva de algo. Si llegase a encontrarse algún error, por favor contáctense conmigo por alguno de los medios explicitados en el Home de este sitio. La mayoría de las demostraciones aquí presentes fueron sacadas del Cálculo de Larotonda o de apuntes tomados en clase.

Esta página fue actualizada por última vez el 5 de octubre del 2020.


Índice

Teorema 1
Sea f: A ⊆ RnRm, P ∈ A0, L ∈ Rm. Entonces vale que: (f es continua en P) ⇔ (∀ sucesión Tn (n ∈ N) de puntos de A ⁄ Tn → P, f(Tn) → f(P)).
Teorema 2
Teorema de Bolzano: sea f: A ⊆ RR una función continua. Si existen puntos P ∈ A y Q ∈ A tales que f(P)f(Q) < 0, entonces existe un punto c ∈ A ⁄ f(c) = 0.
Teorema 3
Teorema de Bolzano en Rn: sea f: A ⊆ RnR, con A arcoconexo y f continua en A. Si existen P y Q ∈ A ⁄ f(P)f(Q) < 0, entonces existe R ∈ A ⁄ f(R) = 0.
Teorema 4
Teorema de Weierstrass: sea f: A ⊆ RnR, con A compacto, f continua en A. Entonces existen m y M ∈ R tales que m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ A. Además existen Pm y PM ∈ A tales que f alcanza su mínimo y máximo respectivos en A en dichos puntos.
Teorema 5
Diferenciable ⇒ Continua: sea f: A ⊆ RnR, P ∈ A0, y f diferenciable en P. Entonces f es continua en P.
Teorema 6
Sobre la existencia de las derivadas direccionales y la unicidad del diferencial: sea f:A ⊆ RnR. Sea p ∈ A0. Si existe una transformación lineal Tp tal que lim x → p ‖f(x) − f(p) − Tp(x − p)‖ ⁄ ‖x − p‖ = 0, entonces existen todas las derivadas direccionales de f en p, y su fórmula es Tp(v), con v un versor de Rn; Tp(X) = Dfp(X) = <∇f(p), X> para todo X ∈ Rn y f es diferenciable en P; y la transformación lineal Tp es única.
Teorema 7
∇f(p) es la dirección de máximo crecimiento de f en p: sea f una función diferenciable en p. Entonces la dirección de máximo crecimiento de f en p viene dada por ∇f(p).
Teorema 8
Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy en R.
Teorema 9
C1 ⇒ Diferenciable: En formato imagen.
Teorema 10
Teorema del Hessiano: Sea f: A ⊆ RnR, f una función de clase C3 en A, con A abierto, P ∈ A un punto de A tal que ∇f(P) = 0. Entonces si el Hessiano de f en P (Hf(P)) es definido negativo, P es un máximo estricto de f. Si Hf(P) es definido positivo, P es un mínimo estricto de f. Si Hf(P) es indefinido, entonces P es un punto silla de f.
Teorema 11
Teorema de los multiplicadores de Lagrange: En formato imagen.
Teorema 12
Continua ⇒ Integrable: En formato imagen.
Teorema 13
Teorema fundamental del cálculo integral: Sea f:[a,b]→R una función continua. Dado x∈[a,b] sea F:[a,b]→R tal que F(x)=∫[a,x]f=∫[a,x]f(t)dt. Entonces F es continua en [a,b], derivable en (a,b) y ∀x∈[a,b] vale que F'(x)=f(x).
Teorema 14
Regla de Barrow: sea f una función continua en un cerrado [a, b]. Si F es una primitiva de f, se tiene que ∫[a, b]f = F(b) − F(a).
Teorema 15
Teorema del valor medio integral: sea f: [a, b] → R una función continua. Entonces ∃ c ∈ (a, b) ⁄ ∫[a, b]f = f(c)(b − a).
Teorema 16
Dado P en una curva de nivel de F(x, y) de clase C1 tal que ∇F(P)≠0, entonces ∇F(P) es perpendicular a la recta tangente a la curva en P. En formato imagen.
Teorema 17
Las derivadas cruzadas coinciden.
Teorema 18
Teorema de Lagrange en Rn o Teorema del valor medio para funciones diferenciables: En formato imagen.
Teorema 19
Teorema de Fermat en Rn: En formato imagen.

Teorema 1

Sean:
Entonces vale que:
Demostración:
(12)
(21)
Como 1221, entonces 12, que es lo que queríamos probar. □

Teorema 2 (Teorema de Bolzano)

Sean:
Entonces:
Demostración:
(Aprovecho para agredecer a Tony Luciana, Fernando Martin y Daniel Arias por señalar y corregir errores presentes en esta demostración).

Teorema 3 (Teorema de Bolzano en Rn)

Sean:
Entonces:
Demostración:

Teorema 4 (Teorema de Weierstrass)

Sean:
Entonces:
Demostración:
(Existencia de m y M)

(Pm y PM)

Dicho todo esto queda demostrado el teorema. □

Teorema 5 (Diferenciable ⇒ Continua)

Sean:
Entonces:
Demostración:

Teorema 6 (Existencia de las derivadas direccionales y unicidad del diferencial)

Sean:
Entonces:
Demostración:

Teorema 7 (∇f(p) dirección de máximo crecimiento)

Sean:
Entonces:
Demostración:

Teorema 8 (Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy en R)

Teorema de Fermat

Sea:
Entonces:
Demostración:

Teorema de Rolle

Sea:
Entonces:
Demostración:

Teorema de Lagrange

Sea:
Entonces:
Demostración:

Teorema de Cauchy

Sea:
Entonces:
Demostración:

Teorema 9 (C1 ⇒ Diferenciable)

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(Cortesía de Ezequiel Togno)


Teorema 10 (Teorema del Hessiano)

Introducción

Primero, un poco de introducción:
Con esto visto, vamos al teorema.

Teorema

Sean:
Entonces:

Unas cosas más antes de seguir:


Demostración:
(Casos de Hessiano definido)
(Caso de Hessiano indefinido) Dicho todo esto, se demuestra el teorema. □

Teorema 11 (Multiplicadores de Lagrange)

A decir verdad, no entendí nunca la demostración de este teorema. Tanto es así, que me pareció que sería inapropiado resumirla y explicarla acá sin estar seguro de mis palabras. Por esto mismo, anexo una imagen de la demostración del libro de Larotonda y me limito a continuar.


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Teorema 12 (Continua ⇒ Integrable)

(Nota: en el primer renglón, donde dice entonces es derivable en [a, b], debería decir entonces es integrable en [a, b].)


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Teorema 13 (TFCI)

Nota: de acá en adelante, debido a las limitaciones de HTML, voy a notar las integrales definidas de a hasta b de f(t)dt como ∫[a,b]f(t)dt.

Sean:
Entonces:
Demostración:
Sea s el máximo valor que toma |f(t)| con t∈[a,b], que como f es una función continua es un número finito. Vamos a probar que F es una función continua.
Como lim x→xo (F(x)−F(xo))/(x−xo)=f(xo), se prueba que F es continua en el interior, derivable en todo el interior (y por tanto, efectivamente derivable) y F'=f, que es lo que queríamos probar. □

Teorema 14 (Regla de Barrow)

Sea:
Entonces:
Demostración:

Teorema 15 (valor medio integral)

Sea:
Entonces:
Demostración:

Teorema 16

Enunciado: dado P en una curva de nivel de F(x, y) de clase C1 tal que ∇F(P)≠0, entonces ∇F(P) es perpendicular a la recta tangente a la curva en P.

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(Cortesía de Ezequiel Togno)

Teorema 17 (las derivadas cruzadas coinciden)

Dado que este teorema no se toma casi nunca y su demostración es brutalmente complicada para mí, no voy a subirlo. Si se quiere ver por cuenta propia, está en la página 109 del Cálculo de Larotonda.

Teorema 18 (Teorema de Lagrange en Rn o Teorema del valor medio para funciones diferenciables)


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Teorema 19 (Teorema de Fermat en Rn)


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